DIS0B

1. 命题练习

将下列英文句子转换为命题逻辑,并将下列命题转换为英文。简要说明每个陈述是否为真。

    1. 存在一个实数不是有理数。
    1. 所有整数要么是自然数要么是负数,但不能两者皆是。
    1. 如果一个自然数能被 6 整除,那么它能被 2 整除或者能被 3 整除。
    1. (x\Z)(xQ)
    1. (x\Z)((2|x)\or(3|x))(6|x))
  1. (f)(x\N)((x>7)((\exista,b\N)(a+b=x)))

解决方案:

    1. (\existx\R)(x\Q),或者等价地(\existxR)(x\Q)。这是真的,我们可以用π作为例子来证明它。
    1. (x\Z)((x\N)\or(x<0))\and((x\N)\and(x<0))。这是真的,因为我们定义自然数包含所有非负整数。
    1. (x\N)((6|x)((2|x)\or(3|x)))。这是真的,因为任何能被 6 整除的数都可以写成6k=(23)k=2(3k),这意味着它也一定能被 2 整除。
    1. 所有整数都是有理数。这是真的,因为任何整数n都可以写成n/1
    1. 任何能被 2 或 3 整除的整数也能被 6 整除。这是假的 - 2 就是最简单的反例。请注意,即使它的逆命题(部分 c)是真的,这个陈述也是假的。
    1. 如果一个自然数大于 7,它可以写成另外两个自然数的和。这显然是真的,因为我们可以取a=xb=0

2. 真值表

通过写出真值表来确定下列等价关系是否成立。明确说明每对是否等价。

    1. P(QP)是否等价于PQ
    1. (PQ)R是否等价于(PR)(QR)
    1. (PQ)R是否等价于(PR)(QR)

解决方案:

    1. 不等价。
P Q P(QP) PQ
    1. 等价。
P Q R (PQ)R (PR)(QR)
    1. 等价。
P Q R (PQ)R (PR)(QR)

3. 蕴含关系

下列哪些蕴含关系无论P如何总是为真?对于每个错误断言给出一个反例(即想出一个会使蕴含关系为假的陈述P(x,y))。

    1. xyP(x,y)yxP(x,y)
    1. xyP(x,y)yxP(x,y)
    1. xyP(x,y)yxP(x,y)

解决方案:

    1. 真。因为相邻的全称量词可以交换;因为xyyx都表示对于我们的论域中的所有xy
    1. 假。令P(x,y)x<y,并且xy的论域为整数。或者令P(x,y)x=y并且论域为任何至少有两个元素的集合。在这两种情况下,前提为真而结论为假,因此整个蕴含语句为假。
    1. 真。第一个陈述表示存在一个x,比如说x,对于每个yP(x,y)为真。因此,对于第二个陈述可以选择x=x,并且对于每个y那个陈述将再次为真。