DIS0B
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1. 命题练习
将下列英文句子转换为命题逻辑,并将下列命题转换为英文。简要说明每个陈述是否为真。
- 存在一个实数不是有理数。
- 所有整数要么是自然数要么是负数,但不能两者皆是。
- 如果一个自然数能被 6 整除,那么它能被 2 整除或者能被 3 整除。
- (
)( )
- (
- (
)(( ) ( )) ( ))
- (
- (f)(
)(( ) (( )( )))
解决方案:
- (
)( ),或者等价地( ) ( )。这是真的,我们可以用 作为例子来证明它。
- (
- (
)(( ) ( )) (( ) ( ))。这是真的,因为我们定义自然数包含所有非负整数。
- (
- (
)(( ) (( ) ( )))。这是真的,因为任何能被 6 整除的数都可以写成 ,这意味着它也一定能被 2 整除。
- (
- 所有整数都是有理数。这是真的,因为任何整数
都可以写成 。
- 所有整数都是有理数。这是真的,因为任何整数
- 任何能被 2 或 3 整除的整数也能被 6 整除。这是假的 - 2 就是最简单的反例。请注意,即使它的逆命题(部分 c)是真的,这个陈述也是假的。
- 如果一个自然数大于
7,它可以写成另外两个自然数的和。这显然是真的,因为我们可以取
且 。
- 如果一个自然数大于
7,它可以写成另外两个自然数的和。这显然是真的,因为我们可以取
2. 真值表
通过写出真值表来确定下列等价关系是否成立。明确说明每对是否等价。
是否等价于
是否等价于
是否等价于
解决方案:
- 不等价。
真 | 真 | 真 | 真 |
真 | 假 | 真 | 假 |
假 | 真 | 假 | 假 |
假 | 假 | 假 | 假 |
- 等价。
真 | 真 | 真 | 真 | 真 |
真 | 真 | 假 | 假 | 假 |
真 | 假 | 真 | 真 | 真 |
真 | 假 | 假 | 假 | 假 |
假 | 真 | 真 | 真 | 真 |
假 | 假 | 真 | 假 | 假 |
假 | 假 | 假 | 假 | 假 |
- 等价。
真 | 真 | 真 | 真 | 真 |
真 | 真 | 假 | 真 | 真 |
真 | 假 | 真 | 真 | 真 |
真 | 假 | 假 | 假 | 假 |
假 | 真 | 真 | 真 | 真 |
假 | 真 | 假 | 假 | 假 |
假 | 假 | 真 | 真 | 真 |
假 | 假 | 假 | 假 | 假 |
3. 蕴含关系
下列哪些蕴含关系无论
。
。
。
解决方案:
- 真。因为相邻的全称量词可以交换;因为
, 和 , 都表示对于我们的论域中的所有 和 。
- 真。因为相邻的全称量词可以交换;因为
- 假。令
为 ,并且 和 的论域为整数。或者令 为 并且论域为任何至少有两个元素的集合。在这两种情况下,前提为真而结论为假,因此整个蕴含语句为假。
- 假。令
- 真。第一个陈述表示存在一个
,比如说 ,对于每个 , 为真。因此,对于第二个陈述可以选择 ,并且对于每个 那个陈述将再次为真。
- 真。第一个陈述表示存在一个
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